hàm số là gì

Trong toán học tập, một hàm số^{[note 1]} hoặc hàm là một trong mối quan hệ nhì ngôi thân ái nhì tụ họp links từng thành phần của tụ họp thứ nhất với trúng một thành phần của tụ họp loại nhì. Ví dụ điển hình nổi bật là những hàm kể từ số nguyên vẹn lịch sự số nguyên vẹn hoặc kể từ số thực lịch sự số thực.

Bạn đang xem: hàm số là gì

Các hàm số ban sơ là việc hoàn hảo hóa cơ hội một đại lượng thay cho thay đổi tùy thuộc vào một đại lượng không giống. Ví dụ, địa điểm của một hành tinh anh là một trong hàm số của thời hạn. Về mặt mũi lịch sử dân tộc, định nghĩa này được kiến tạo dựa vào luật lệ tính vi tích phân vô thời điểm cuối thế kỷ 17, và cho tới thế kỷ 19, những hàm được xem là khả vi (nghĩa là bọn chúng với cường độ mịn cao). Khái niệm hàm số được đầu tiên hóa vô thời điểm cuối thế kỷ 19 bên dưới dạng lý thuyết tụ họp, và điều này tiếp tục không ngừng mở rộng đáng chú ý những nghành phần mềm của định nghĩa này.

Một hàm số là một trong quy trình hoặc một quan hệ nhưng mà links từng thành phần x của một tụ họp X, được gọi là miền xác định của hàm số, cho tới một thành phần y có một không hai của một tụ họp Y (có thể là và một tụ họp như X), và gọi là tập hợp ý đích của hàm số này. Hàm số thông thường được ký hiệu vì thế những vần âm như f, g và h.^[1]

Nếu hàm được gọi là f, mối quan hệ này được ký hiệu là y = f (x) (đọc là " f của x "), vô cơ thành phần x là đối số hoặc đầu vào của hàm và y là giá trị của hàm, đầu ra hoặc ảnh của x bám theo f .^[2] Ký hiệu được dùng nhằm màn biểu diễn nguồn vào là biến đổi của hàm (ví dụ: f là hàm của biến đổi x).^[3]

Một hàm số được màn biểu diễn có một không hai vì thế tụ họp toàn bộ những cặp số (x, f (x)), được gọi là thiết bị thị của hàm số. ^{[note 2][4]} Khi miền và miền là tụ họp những số thực, từng cặp vì vậy hoàn toàn có thể được xem là tọa chừng Descartes của một điểm vô mặt mũi phẳng phiu. Tập hợp ý những điểm đó được gọi là thiết bị thị của hàm số; nó là một trong phương tiện đi lại thông dụng nhằm minh họa một hàm số.

Các hàm số được dùng thoáng rộng vô khoa học tập và vô đa số những nghành toán học tập. Người tao tiếp tục bảo rằng những hàm là "đối tượng trung tâm của nghiên cứu" vô đa số những nghành toán học tập.^[5]

Khái niệm[sửa | sửa mã nguồn]

Nói một cơ hội trực quan tiền, hàm là một trong quy trình links từng thành phần của tụ họp X với cùng 1 thành phần của tụ họp Y.

Về mặt mũi mẫu mã, một hàm f kể từ luyện X cho tới luyện Y được xác lập vì thế luyện G bao gồm những cặp với trật tự (x, y) sao mang đến x ∈ X, y ∈ Y, và từng thành phần của X là bộ phận thứ nhất của trúng một cặp với trật tự ghép song vô G ^{[6] [note 3]} Nói cách thứ hai, với từng x vô X, với trúng một thành phần y sao mang đến cặp với trật tự (x, y) nằm trong luyện những cặp xác lập hàm f . Tập hợp ý G được gọi là thiết bị thị của hàm số. Về mặt mũi mẫu mã, nó hoàn toàn có thể được xác lập với hàm số bên trên, tuy nhiên điều này phủ cất giấu cơ hội phân tích và lý giải thường thì về một tính năng như 1 quy trình. Do cơ, vô cơ hội dùng thường thì, hàm số thông thường được phân biệt với thiết bị thị của chính nó.

Hàm còn được gọi là ánh xạ, tuy vậy một số trong những người sáng tác phân biệt thân ái "ánh xạ" và "hàm số".

Trong khái niệm về hàm số, X và Y ứng được gọi là tập/miền xác định và tập đích/ miền giá chỉ trị của hàm f ^[7] Nếu (x, y) nằm trong luyện xác lập f, thì y là ảnh của x trải qua f, hoặc giá trị của f được vận dụng mang đến đối số x . điều đặc biệt, vô văn cảnh của những số lượng, người tao cũng bảo rằng y là độ quý hiếm của f so với giá trị x của biến đổi của nó, hoặc cụt gọn gàng rộng lớn, y là giá trị của f của x, được ký hiệu là y = f(x) .

Hai hàm f và g là đều nhau, nếu như miền và tụ họp miền xác lập của bọn chúng tương đương nhau và độ quý hiếm Output đầu ra của bọn chúng tương đương nhau bên trên toàn miền xác lập cơ. Chính thức rộng lớn, f = g nếu như f(x) = g(x) với từng x ∈ X, vô cơ f:X → Y và g:X → Y ^{[8] [9] [note 4]}

Miền xác lập và miền độ quý hiếm ko nên khi này cũng khá được cung ứng rõ rệt khi một hàm được xác lập và, nếu như không tồn tại một số trong những đo lường (có thể khó), người tao hoàn toàn có thể chỉ hiểu được miền được chứa chấp vô một tụ họp to hơn. Thông thông thường, điều này xẩy ra vô giải tích toán học tập, vô cơ "một hàm từ X cho tới Y " thông thường nói đến một hàm hoàn toàn có thể với cùng 1 luyện con cái mến hợp^{[note 5]} của X là miền xác lập. Ví dụ, một "hàm kể từ độ quý hiếm thực cho tới độ quý hiếm thực" hoàn toàn có thể tham lam chiếu cho tới một hàm có mức giá trị thực của một biến đổi thực. Tuy nhiên, một "hàm kể từ số thực cho tới số thực" ko Tức là miền của hàm là toàn cỗ luyện những số thực, nhưng mà chỉ mất nghĩa miền là luyện những số thực với chứa chấp khoảng chừng hé ko trống rỗng. Khi cơ một hàm vì vậy được gọi là hàm 1 phần. Ví dụ: nếu như f là một trong hàm với những số thực là miền xác lập và miền độ quý hiếm, thì một hàm ánh xạ độ quý hiếm x với độ quý hiếm là một trong hàm g kể từ miền số thực cho tới miền số thực, với miền xác lập là luyện những số thực x, sao mang đến f(x) ≠ 0 .

Phạm vi của một hàm là tụ họp những hình ảnh của toàn bộ những thành phần vô miền.^[10][11][12] Tuy nhiên, phạm vi đôi lúc được dùng như 1 kể từ đồng nghĩa tương quan của miền độ quý hiếm,^[12][13] hay được sử dụng trong những sách cũ.

Định nghĩa người sử dụng quan tiền hệ[sửa | sửa mã nguồn]

Bất kỳ luyện con cái này của tích Descartes bao gồm nhì tụ họp và xác lập một mối quan hệ nhì ngôi thân ái nhì tụ họp này. Rõ ràng là một trong mối quan hệ tùy ý hoàn toàn có thể chứa chấp những đôi bạn trẻ vi phạm những ĐK quan trọng cho 1 hàm số tiếp tục mang đến phía trên.

Một mối quan hệ nhì ngôi là với tính hàm số (còn được gọi là có một không hai mặt mũi phải) nếu

Một mối quan hệ nhị phân là với tính tiếp nối đuôi nhau (còn được gọi là tổng mặt mũi trái) nếu

Một hàm 1 phần là một trong mối quan hệ nhì ngôi nhưng mà với tính hàm số..

Một hàm số là một trong mối quan hệ nhì ngôi với tính hàm số và tiếp nối đuôi nhau.

Các tính chất không giống nhau của hàm số và bộ phận hàm số hoàn toàn có thể được định hình lại vì thế ngôn từ của những mối quan hệ. Ví dụ, một hàm số là đơn ánh nếu như mối quan hệ ngược là với tính hàm số, vô cơ mối quan hệ ngược được khái niệm là ^[14]

Cách mang đến hàm số[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm số hoàn toàn có thể được mang đến vì thế bảng hoặc vì thế biểu thiết bị hoặc vì thế 1 biểu thức hoặc nhiều biểu thức bên trên từng khoảng chừng, đoạn, nửa khoảng chừng.

Ví dụ: X = {1,2,3,4,5}, Y = {5,6,7,8,9,10}.

Hàm được mang đến bảng sau:

Các hàm mang đến vì thế biểu thức như , , ...

Lưu ý: Trong công tác môn Toán ở bậc Trung học tập phổ thông của nước ta (chỉ nói đến Hàm số biến đổi số thực) quy ước rằng:

• Khi ko phân tích thêm thắt, miền xác lập (tập xác định) của hàm số mang đến vì thế biểu thức hắn = f(x) là tụ họp toàn bộ những độ quý hiếm của x thực hiện mang đến f(x) với nghĩa.

Ví dụ: Hàm số với miền xác lập là hoặc

Hàm số với miền xác lập là

Ví dụ: Miền độ quý hiếm của hàm số là .

• Nếu X,Y thì hàm số được gọi là hàm số thực.

Ví dụ: Hàm lượng giác ,hàm nón ,...

• Nếu X,Y thì hàm số được gọi là hàm số biến đổi số phức.

Ví dụ: Hàm xấp xỉ ;

• Nếu X thì hàm số được gọi là hàm số số học tập.

Ví dụ: Hàm Euler màn biểu diễn số những số đương nhiên ko vượt lên trước quá n và yếu tố cùng với nhau với n, hàm Sigma màn biểu diễn tổng toàn bộ những ước của số đương nhiên n...

Các dạng của hàm số[sửa | sửa mã nguồn]

Đơn ánh, tuy vậy ánh, toàn ánh[sửa | sửa mã nguồn]

Như bên trên tiếp tục kể, hàm số là một trong tình huống ánh xạ, nên người tao cũng mô tả hàm số bên dưới 3 dạng là đơn ánh, toàn ánh và tuy vậy ánh.

Đơn ánh[sửa | sửa mã nguồn]

Một hàm số là đơn ánh khi nó vận dụng lên 2 đối số không giống nhau luôn luôn mang đến 2 độ quý hiếm không giống nhau.

Một cơ hội nghiêm ngặt, hàm f, xác lập bên trên X và nhận độ quý hiếm vô Y, là đơn ánh nếu mà nó thỏa mãn nhu cầu ĐK với từng x₁ và x₂ nằm trong X và nếu như x₁ ≠ x₂ thì f(x₁) ≠ f(x₂).

Nghĩa là, hàm số f là đơn ánh khi và chỉ khi:

Với thiết bị thị hàm số hắn = f(x) vô hệ tọa chừng Đề những, từng đường thẳng liền mạch vuông góc với trục đối số Ox tiếp tục chỉ hạn chế đàng cong thiết bị thị bên trên tối đa là một trong điểm

Toàn ánh[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm số f được gọi là toàn ánh nếu mà với từng số y nằm trong Y tao luôn luôn tìm ra tối thiểu một số trong những x nằm trong X sao mang đến f(x) = y. Theo cơ hội gọi của ánh xạ thì ĐK này Tức là từng thành phần y nằm trong Y đều là ảnh của tối thiểu một tạo ảnh x nằm trong X qua chuyện ánh xạ f.

Xem thêm: động lượng là gì

Nghĩa là, hàm số f là toàn ánh khi và chỉ khi:

cũng tức là

Đồ thị hàm hạn chế đường thẳng liền mạch

Song ánh[sửa | sửa mã nguồn]

Trong toán học tập, song ánh, hoặc hàm tuy vậy ánh, là một hàm số f từ tập X vào tập Y thỏa mãn đặc điểm, so với mỗi y thuộc Y, với có một không hai một x thuộc X sao cho f(x) = y.

Nói cách thứ hai, f là một tuy vậy ánh nếu như và chỉ nếu như nó là tương ứng một-một giữa nhì luyện hợp; tức là nó một vừa hai phải là đơn ánh và một vừa hai phải là toàn ánh.

Ví dụ, xét hàm fxác tấp tểnh bên trên luyện hợp số nguyên  vào, được tấp tểnh nghĩa f(x) = x + 1. Ví dụ không giống, so với từng cặp số thực (x,y) hàm f xác tấp tểnh bởi f(x,y) = (x + y, x − y) là một song ánh

Hàm tuy vậy ánh đôi lúc còn gọi là hoán vị.

Tập hợp ý toàn bộ những tuy vậy ánh kể từ tập X vào tập Y được ký hiệu là X ↔ Y. Thông thông thường luyện những thiến của tập X được ký hiệu là X!.

Song ánh đóng góp nhiều tầm quan trọng cần thiết vô toán học tập, như nó dùng để làm tấp tểnh nghĩa đẳng cấu (và những định nghĩa tương quan như phép đồng phôi và vi phôi), nhóm thiến, ánh xạ xạ hình ảnh, và nhiều khái niệm khác

Minh hoạ[sửa | sửa mã nguồn]

Đơn ánh tuy nhiên không nên toàn ánh		Toàn ánh nhưng không nên đơn ánh		Song ánh

Hàm hợp ý và hàm ngược[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm hợp[sửa | sửa mã nguồn]

Cho những hàm số:

trong cơ X, Y, Z là những tụ họp số phát biểu công cộng. Hàm hợp của f₁ và f₂ là hàm số:

được khái niệm bởi:

Có thể ký hiệu hàm hợp ý là:

Ví dụ, hàm số f(x) = sin (x²+1) là hàm số hợp ý f₂(f₁(x)), vô cơ f₂(y) = sin(y), f₁(x) = (x² +1).

Việc phân biệt một hàm số là hàm hợp ý của những hàm không giống, trong tương đối nhiều tình huống hoàn toàn có thể khiến cho những đo lường giải tích (đạo hàm, vi phân, tích phân) trở thành giản dị và đơn giản rộng lớn.

Hàm ngược[sửa | sửa mã nguồn]

Cho hàm số tuy vậy ánh:

trong cơ X, Y là tụ họp số phát biểu công cộng.Khi cơ từng thành phần y = f(x) với y nằm trong Y đều là hình ảnh của một và có một thành phần x vô X. Như vậy, hoàn toàn có thể đặt điều ứng từng thành phần y vô Y với cùng 1 thành phần x vô X. Phép ứng này đã xác lập một hàm số, ánh xạ kể từ Y lịch sự X, hàm số này được gọi là hàm số ngược của hàm số f và được ký hiệu là:

Nếu f⁻¹(x) tồn bên trên tao phát biểu hàm số f(x) là khả nghịch. cũng có thể phát biểu đặc điểm tuy vậy ánh là ĐK cần thiết và đầy đủ nhằm hàm f(x) khả nghịch ngợm, tức là nếu như f(x) là tuy vậy ánh thì tao luôn luôn tìm ra hàm ngược f⁻¹(x) và ngược lại.

Đồ thị của hàm số[sửa | sửa mã nguồn]

Thông thông thường thì hàm số được xác lập vì thế một biểu thức tổng quát mắng y = f(x) này cơ, ví như y = x² - 5. Tuy nhiên cũng đều có những hàm quan trọng đặc biệt nhưng mà quy tắc mang đến ứng x với y của chính nó không tuân theo ngẫu nhiên một quy luật này nhằm hoàn toàn có thể diễn tả vì thế một biểu thức toán học tập. Trong tình huống này tao hoàn toàn có thể lập bảng cho những độ quý hiếm đối số x và những độ quý hiếm hàm số y ứng với bọn chúng. Hình như hàm số còn hoàn toàn có thể được xác lập một cơ hội triệt nhằm vì thế đồ thị của chính nó.

Đối với hàm số một biến đổi số thực (có miền xác lập thực), thiết bị thị hàm số được khái niệm như sau:

Đồ thị của hàm số y = f(x) là tụ họp những điểm bên trên mặt mũi phẳng phiu R² với tọa chừng [x, f(x)].

Ký hiệu thiết bị thị hàm số bám theo khái niệm bên trên là:

Các đặc điểm của hàm số[sửa | sửa mã nguồn]

Tính đơn điệu[sửa | sửa mã nguồn]

Giả sử hàm số y= f(x) xác lập bên trên K. Ta nói:

Tính chẵn lẻ[sửa | sửa mã nguồn]

Điều khiếu nại nhằm một hàm số chẵn hoặc lẻ[sửa | sửa mã nguồn]

Cho hàm số y=f(x) xác lập bên trên D

1. Điều khiếu nại tiên quyết nhằm hàm số với tính chẵn lẻ là luyện xác lập của hàm số nên đối xứng qua chuyện điểm 0, tức là
2. Để hàm số sẽ là chẵn cần thiết thêm thắt ĐK f(-x) = f(x)
3. Để hàm số sẽ là lẻ cần thiết thêm thắt ĐK f(-x) = -f(x)
4. Nếu thiếu hụt ĐK 1 hoặc cả nhì ĐK 2 và 3 thì coi như hàm số không tồn tại tính chẵn lẻ.

Đồ thị của hàm số chẵn và hàm số lẻ[sửa | sửa mã nguồn]

Trong mặt mũi phẳng phiu tọa chừng Descartes:

Xem thêm: hành kinh là gì

• Đồ thị của từng hàm số chẵn đều nhận trục Oy thực hiện trục đối xứng.
• Đồ thị của từng hàm số lẻ đều nhận gốc tọa chừng thực hiện tâm đối xứng.

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]

1. ^ The words map, mapping, transformation, correspondence, and operator are often used synonymously. Halmos 1970.
2. ^ This definition of "graph" refers to lớn a set of pairs of objects. Graphs, in the sense of diagrams, are most applicable to lớn functions from the real numbers to lớn themselves. All functions can be described by sets of pairs but it may not be practical to lớn construct a diagram for functions between other sets (such as sets of matrices).
3. ^ The sets X, Y are parts of data defining a function; i.e., a function is a phối of ordered pairs with , together with the sets X, Y, such that for each , there is a unique with in the phối.
4. ^ This follows from the axiom of extensionality, which says two sets are the same if and only if they have the same members. Some authors drop codomain from a definition of a function, and in that definition, the notion of equality has to lớn be handled with care; see, for example, “When bởi two functions become equal?”. Stack Exchange. ngày 19 mon 8 năm năm ngoái.
5. ^ called the domain of definition by some authors, notably computer science