z là số gì

Trong toán học tập, số hữu tỉ là những số x rất có thể màn biểu diễn bên dưới dạng phân số , nhập cơ a và b là những số vẹn toàn với b ≠ 0.^[1]

Tập ăn ý những số hữu tỉ^[2], hoặc hay còn gọi là ngôi trường số hữu tỉ^[3], ký hiệu là Q (chữ đậm) hoặc (chữ viền), Unicode 𝐐/ℚ.^[4] Tên Q của tụ hợp này được Giuseppe Peano dùng phen trước tiên như thể chữ viết lách tắt của quoziente, tức thị tỷ trọng, và xuất hiện tại lần thứ nhất nhập cuốn sách Algèbre^[5] của Bourbaki.

Bạn đang xem: z là số gì

Khai triển thập phân của một trong những hữu tỉ kết đôn đốc sau một trong những hữu hạn chữ số (ví dụ: 3/4 = 0,75 hoặc thậm chí còn chính thức tái diễn một trong những hữu hạn nằm trong sản phẩm những chữ số lặp cút tái diễn (ví dụ: 9/44 = 0,20454545...).^[6] trái lại, ngẫu nhiên số thập phân tái diễn tuần trả hoặc kết đôn đốc sau hữu hạn chữ số đều thay mặt cho tới một trong những hữu tỉ. Các tuyên bố này đúng trong các cơ số 10 và vào cụ thể từng cơ số vẹn toàn không giống (ví dụ: nhị phân hoặc thập lục phân).

Một số thực ko nên là số hữu tỉ được gọi là số vô tỉ.^[7] Một số ví dụ của số vô tỉ bao hàm , π, e và φ. Khai triển thập phân của một trong những vô tỉ kéo dãn mãi nhưng mà ko tái diễn. Vì tụ hợp những số hữu tỉ là điểm được và tụ hợp những số thực là ko điểm được nên đa số toàn bộ những số thực đều là số vô tỉ.^[8]

Số hữu tỉ rất có thể được khái niệm một cơ hội chủ yếu tắc là những lớp tương tự của những cặp số vẹn toàn (p, q) với q ≠ 0, dùng mối quan hệ tương tự được khái niệm như sau:

Phân số p/q Khi cơ biểu thị lớp tương tự của (p, q).^[9]

Số hữu tỉ cùng theo với quy tắc nằm trong và quy tắc tự tạo trở thành một ngôi trường nhập cơ sở hữu chứa chấp những số vẹn toàn, và được chứa chấp nhập ngẫu nhiên ngôi trường này sở hữu chứa chấp những số vẹn toàn. Nói cách tiếp theo, ngôi trường số hữu tỉ là một trong những ngôi trường nhân tố và một ngôi trường sở hữu đặc thù là 0 nếu như và chỉ Khi nó chứa chấp những số hữu tỉ bên dưới dạng một ngôi trường con cái. Phần không ngừng mở rộng hữu hạn của Q được gọi là ngôi trường số đại số và phần đóng góp đại số của Q là ngôi trường số đại số.^[10]

Trong giải tích toán học tập, những số hữu tỉ tạo ra trở thành một tập luyện con cái trù phú của những số thực. Các số thực rất có thể được thi công kể từ những số hữu tỉ bằng phương pháp hoàn thiện, dùng chuỗi Cauchy, tách Dedekind hoặc những số thập phân vô hạn (để hiểu thêm, coi Xây dựng những số thực).

Từ nguyên[sửa | sửa mã nguồn]

Thuật ngữ hữu tỷ nhập thương hiệu của tụ hợp Q nói đến thực tiễn rằng một trong những hữu tỷ biểu thị một tỷ số của nhì số vẹn toàn. Tính kể từ hữu tỉ đôi lúc Có nghĩa là những thông số là số hữu tỉ. Ví dụ, một điểm hữu tỉ là một trong những điểm sở hữu toạ phỏng hữu tỉ (tức là một trong những điểm sở hữu toạ phỏng là số hữu tỉ); một ma trận hữu tỉ là một trong những quái trận của những số hữu tỉ; một đa thức hữu tỉ rất có thể là một trong những nhiều thức với những thông số hữu tỉ, tuy nhiên thuật ngữ "đa thức bên trên những số hữu tỉ" thông thường được ưu tiên rộng lớn, nhằm tách lầm lẫn thân thiết " biểu thức hữu tỉ " và " hàm hữu tỉ" (đa thức là một trong những biểu thức hữu tỉ và khái niệm một hàm hữu tỉ, trong cả Khi những thông số của chính nó ko nên là số hữu tỉ). Tuy nhiên, một đàng cong hữu tỷ không phải là một trong những đàng cong được xác lập bên trên những số hữu tỷ, nhưng mà là một trong những đàng cong rất có thể được thông số hóa vì thế những hàm hữu tỷ.^{[cần dẫn nguồn]}

Từ vẹn toàn này tương tự động như kể từ vẹn toàn của số ảo và số thực.

Số học[sửa | sửa mã nguồn]

Phân số tối giản[sửa | sửa mã nguồn]

Mọi số hữu tỉ rất có thể được màn biểu diễn theo dõi một cơ hội có một không hai bên dưới dạng một phân số tối giản a/b, nhập cơ a và b là những số nhân tố bên cạnh nhau và b > 0. Đây thông thường được gọi là dạng chủ yếu tắc của số hữu tỉ.

Bắt đầu kể từ một trong những hữu tỉ a/b, dạng chủ yếu tắc của chính nó rất có thể có được bằng phương pháp phân chia a và b cho tới ước công cộng lớn số 1 của bọn chúng, và nếu như b < 0, thay cho thay đổi lốt của tử số và khuôn mẫu số.

Nhúng những số nguyên[sửa | sửa mã nguồn]

Mọi số vẹn toàn n rất có thể được màn biểu diễn bên dưới dạng số hữu tỉ n/1, là dạng chủ yếu tắc của chính nó bên dưới dạng một trong những hữu tỉ.

Đẳng thức[sửa | sửa mã nguồn]

Khi và chỉ Khi

Nếu cả nhì phân số đều ở dạng chủ yếu tắc, thì:

Khi và chỉ Khi và ^[9]

Thứ tự[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu cả nhì khuôn mẫu số đều dương (đặc biệt nếu như cả nhì phân số đều ở dạng chủ yếu tắc):

Khi và chỉ Khi

Mặt không giống, nếu như một trong những nhì khuôn mẫu số là âm, thì trước tiên từng phân số sở hữu khuôn mẫu số âm nên được gửi trở thành dạng tương tự với khuôn mẫu số dương — bằng phương pháp thay đổi lốt của tất cả tử số và khuôn mẫu số của chính nó.^[9]

Phép cộng[sửa | sửa mã nguồn]

Hai số hữu tỷ được nằm trong như sau:

Nếu cả nhì phân số đều ở dạng chủ yếu tắc, thành quả tiếp tục ở dạng chủ yếu tắc Khi và chỉ Khi b và d là những số nhân tố bên cạnh nhau.^[9][11]

Phép trừ[sửa | sửa mã nguồn]

Hai số hữu tỷ được trừ như sau:

tùy nhập những ngôi trường hợp

Nếu cả nhì phân số đều ở dạng chủ yếu tắc, thành quả tiếp tục ở dạng chủ yếu tắc Khi và chỉ Khi b và d là những số nhân tố bên cạnh nhau.^[9]

Phép nhân[sửa | sửa mã nguồn]

Hai số hữu tỷ được nhân như sau:

trong cơ thành quả rất có thể là một trong những phân số rất có thể rút gọn gàng — trong cả Khi cả nhì phân số lúc đầu đều ở dạng chủ yếu tắc.^[9][11]

Nghịch hòn đảo quy tắc nằm trong và quy tắc nhân[sửa | sửa mã nguồn]

Mọi số hữu tỉ a/b sở hữu một nghịch tặc hòn đảo quy tắc nằm trong, thông thường được gọi là số đối của chính nó,

Nếu như a/b ở dạng chủ yếu tắc, thì số đối của chính nó cũng ở dạng này.

Một số hữu tỉ không giống ko a/b sở hữu nghịch tặc hòn đảo quy tắc nhân, hay còn gọi là nghịch đảo của chính nó,

Nếu như a/b ở dạng chủ yếu tắc, thì dạng chủ yếu tắc của nghịch tặc hòn đảo của chính nó là b/a hoặc −b/−a, tùy theo lốt của a.^{[cần dẫn nguồn]}

Phép chia[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu b, c và d không giống ko, quy tắc phân chia là

Như vậy, phân chia a/b cho tới c/d tương tự với nhân a/b với nghịch tặc hòn đảo của c/d:

^[12]

Lũy quá với số nón nguyên[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu n là một trong những vẹn toàn ko âm, thì

Kết trái ngược ở dạng chuẩn chỉnh tắc nếu như a/b ở dạng chuẩn chỉnh tắc. điều đặc biệt,

Xem thêm: thần thái là gì

Nếu a ≠ 0, thì

Nếu như a/b ở dạng chuẩn chỉnh tắc, dạng chuẩn chỉnh tắc của thành quả là bⁿ/aⁿ nếu như a > 0 hoặc n chẵn. Nếu ko, dạng chuẩn chỉnh tắc của thành quả là −bⁿ/−aⁿ.

Biểu diễn[sửa | sửa mã nguồn]

Biểu biểu diễn nhập hệ thập phân và những hệ cơ số khác[sửa | sửa mã nguồn]

Khi màn biểu diễn số hữu tỉ theo dõi hệ ghi số cơ số 10 (dạng thập phân), số hữu tỉ rất có thể là số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần trả và ngược lại.

Một phân số tối giản với khuôn mẫu dương và khuôn mẫu không tồn tại ước nhân tố này ngoài 2 và 5 thì phân số cơ viết lách được bên dưới dạng số thập phân hữu hạn

VD: phân số sở hữu khuôn mẫu số là không tồn tại ước nhân tố này không giống 5 nên rất có thể viết lách được bên dưới dạng số thập phân hữu hạn

Một phân số tối giản với khuôn mẫu dương và khuôn mẫu sở hữu tối thiểu 1 ước nhân tố không giống 2 và 5 thì phân số cơ viết lách bên dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

Ví dụ 1: phân số sở hữu khuôn mẫu số là 7 nên được viết lách bên dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

Ví dụ 2: phân số sở hữu khuôn mẫu số là 17 nên được viết lách bên dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

Dãy những chữ số tái diễn nhập màn biểu diễn thập phân của những số thập phân vô hạn tuần trả được gọi là chu kỳ luân hồi, và số những chữ số nhập chu kỳ luân hồi này rất có thể chứng tỏ được rằng ko vượt lên quá |b|.

Một cơ hội tổng quát tháo, nhập một hệ cơ số ngẫu nhiên, những chữ số sau lốt phẩy của số hữu tỉ là hữu hạn hoặc vô hạn tuần trả.

Biểu biểu diễn vì thế liên phân số[sửa | sửa mã nguồn]

Một liên phân số hữu hạn là một trong những biểu thức ví dụ điển hình như

trong cơ a_n là những số vẹn toàn. Mọi số hữu tỉ a/b rất có thể được màn biểu diễn bên dưới dạng một liên phân số hữu hạn, nhưng mà thông số a_n rất có thể được xác lập bằng phương pháp vận dụng thuật toán Euclide cho tới (a, b).

Xây dựng tập luyện những số hữu tỉ kể từ tập luyện số nguyên[sửa | sửa mã nguồn]

Trong toán học tập tân tiến, người tớ thi công tụ hợp những số hữu tỉ như ngôi trường những thương của .

Xét tập luyện tích Decaters:

=

Trên cơ xác lập một mối quan hệ tương đương:

lớp tương tự của cặp (a, b) được ký hiệu là a/b và gọi là thương của a cho tới b:

Tập những lớp này (tập thương) được gọi là tập luyện những số hữu tỷ và ký hiệu là . Trên tập luyện khái niệm những quy tắc toán:

Khi cơ nếu và

thì ;

và .

Do cơ những quy tắc toán bên trên rất có thể được gửi lịch sự trở thành những quy tắc toán bên trên tập luyện những lớp tương tự thưa bên trên, tức thị tập luyện .

Để coi là phần tử của tớ nhúng nhập nhờ đơn ánh cho từng số vẹn toàn n ứng với lớp n/1 nhập .\

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Tập ăn ý Z của toàn bộ những số hữu tỉ, cùng theo với những quy tắc toán nằm trong và nhân được trình diễn phía trên, tạo ra trở thành một ngôi trường.^[9]

Z không tồn tại quy tắc tự động đẳng cấu này ngoài độ quý hiếm đơn vị chức năng.

Với trật tự được khái niệm phía trên, Z là ngôi trường sở hữu loại tự^[11] không tồn tại ngôi trường con cái này không giống ngoài chủ yếu nó, và là ngôi trường sở hữu trật tự nhỏ nhất, theo dõi tức thị từng ngôi trường sở hữu trật tự đều có một ngôi trường con cái có một không hai đẳng cấu với Z.

Z là ngôi trường phân số của tụ hợp những số vẹn toàn Q.^[13] Tính đóng góp đại số của Q, tức là ngôi trường của những nghiệm của những nhiều thức hữu tỷ, là ngôi trường của những số đại số.^{[cần dẫn nguồn]}

Tập ăn ý toàn bộ những số hữu tỉ rất có thể điểm được (xem hình vẽ), trong những khi tụ hợp toàn bộ những số thực (cũng như tụ hợp những số vô tỉ) là ko điểm được. cũng có thể điểm được, tụ hợp những số hữu tỉ là tụ hợp trống rỗng, tức là đa số toàn bộ những số thực đều vô tỉ, theo dõi nghĩa của phỏng đo Lebesgue.^{[cần dẫn nguồn]}

Số hữu tỷ là một trong những tụ hợp sở hữu trật tự động trù mật: thân thiết nhì số hữu tỷ ngẫu nhiên, sở hữu một trong những hữu tỷ không giống, và vì thế, sở hữu vô số số hữu tỷ không giống thân thiết bọn chúng.^[9] Ví dụ, so với nhì phân số ngẫu nhiên thỏa mãn

(với đều dương), tớ có

Bất kỳ tụ hợp sở hữu trật tự trọn vẹn này rất có thể điểm được, trù phú (theo nghĩa trên) và không tồn tại thành phần nhỏ nhất hoặc lớn số 1 này là đẳng cấu trật tự với tụ hợp những số hữu tỉ.^[14]

Với số thực và đặc điểm pô[sửa | sửa mã nguồn]

Số hữu tỉ là một trong những tập luyện con cái trù phú của những số thực: từng số thực đều phải sở hữu những số hữu tỉ ngay sát nó một cơ hội tùy ý.^[9] Một đặc điểm tương quan là số hữu tỉ là số có một không hai sở hữu không ngừng mở rộng hữu hạn bên dưới dạng liên phân số thường thì.

Theo trật tự của bọn chúng, những số hữu tỷ sở hữu một cấu tạo links trật tự động. Các số hữu tỉ, như 1 không khí con cái của những số thực, cũng đều có một cấu tạo links không khí con cái. Các số hữu tỉ tạo ra trở thành một không khí số liệu bằng phương pháp dùng metric chênh nghiêng vô cùng d(x, y) = | x − y |, và điều này tạo nên một cấu tạo links loại tía bên trên Q. Tất cả tía cấu tạo links trùng khớp và đổi thay những hợp lí trở thành một ngôi trường tôpô. Các số hữu tỉ là một trong những ví dụ cần thiết của một không khí ko nên là nhỏ và gọn toàn bộ. Các hợp lí được đặc thù về mặt mũi cấu tạo links là không khí rất có thể điểm được có một không hai nhưng mà không tồn tại điểm xa lánh. Không gian giảo này cũng trọn vẹn bị ngắt liên kết. Các số hữu tỉ ko tạo ra trở thành một không khí số liệu trả chỉnh  ; những số thực là sự việc hoàn thiện của Q theo dõi metric d(x, y) = | x − y | bên trên.^[11]

Số p-adic[sửa | sửa mã nguồn]

Ngoài metric độ quý hiếm vô cùng được nhắc phía trên, sở hữu những số liệu không giống đổi thay Q trở thành một ngôi trường tô pô liên kết:

Cho p là một trong những nhân tố và với từng số vẹn toàn không giống ko a, cho tới | a |_p = p⁻ⁿ, nhập cơ pⁿ là lũy quá tối đa của p phân chia không còn a.

Xem thêm: shopee pay la gi

Ngoài rời khỏi tớ bịa | 0 |_p = 0. Đối với ngẫu nhiên số hữu tỉ a/b, tớ bịa | a/b |_p = | a |_p/| b |_p .

Khi cơ d_p(x, y) = | x − y |_p xác lập một metric bên trên Q^[15]

Không gian giảo metric (Q, d_p) ko hoàn hảo và phần hoàn thiện của chính nó là ngôi trường số p -adic Q_p. Định lý Ostrowski tuyên bố rằng ngẫu nhiên độ quý hiếm vô cùng ko tầm thông thường này bên trên số hữu tỉ Q đều tương tự với độ quý hiếm vô cùng thực thường thì hoặc độ quý hiếm vô cùng p -adic.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

• Số vẹn toàn tố
• Số nguyên
• Số tự động nhiên
• Số vô tỉ
• Số đại số
• Số siêu việt
• Số thực
• Số phức
• Số siêu phức

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

• Số hữu tỉ bên trên MathWorld.